Понимание теоремы свертки
Изучите интуицию, стоящую за теоремой свертки визуально!
Что такое теорема свертки?
Из Википедии…
В математике теорема о свертке утверждает, что при подходящих условиях преобразование Фурье свертки двух функций (или сигналов) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем смысле свертка в одной области (например, во временной области) равна поточечному умножению в другой области (например, в частотной области). Другие версии теоремы свертки применимы к различным преобразованиям Фурье.
В настройках изображения это означает, что свертка ядра с изображением идентична выполнению поточечного умножения (произведение Адамара) в пространстве Фурье. Итак, проще:
Преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению их индивидуальных преобразований Фурье
Почему ядро Гаусса?
Для этой демонстрации мы могли бы использовать любое ядро, но у гауссианы есть пара приятных свойств. Во-первых, держу пари, вы уже знаете, как выглядит гауссиана. Во-вторых, эффект гауссовой свертки относительно прямолинеен: изображение становится более гладким (т. е. более размытым) в зависимости от стандартного отклонения гауссова. В-третьих — и это наиболее важно для этой демонстрации — преобразование Фурье (ПФ) гауссиана само по себе является гауссианом!
Как читать визуализацию
Начнем с первого кадра...
На первом подграфике я показываю образец изображения в пространстве пикселей. На втором подграфике двумерный FT этого изображения.
На третьем подграфике я начертил двумерное ядро Гаусса с очень малым стандартным отклонением. В-четвертых, ФП ядра.
Теперь все становится интереснее! Если мы свернем ядро (3) с изображением (1), мы получим пятый подграфик. Поскольку стандартное отклонение настолько мало, эффект едва заметен. Изображение чуть-чуть сглажено. Наконец, на шестом подграфике я взял FT сглаженного изображения (5). То есть я построил FT (6) исходного изображения (1), свернутого с ядром Гаусса (3).
Развитие интуиции
Сразу же, есть некоторые функции, которые мы можем выделить. ФТ ядра везде белый, но по углам отваливается. В пространстве Фурье самые высокие частоты находятся далеко от начала координат. Если это звучит смутно знакомо, но вам нужно освежить в памяти, прочтите это:
Визуально ясно, что подсюжет 6 представляет собой поточечное умножение 2 и 4. Все начинает получаться! Небольшая размытость подграфика 5 связана с тем, что свертка с ядром Гаусса удалила из изображения наиболее часто встречающееся содержимое.
Теперь давайте увеличим стандартное отклонение Гаусса в нашем ядре.
Интуитивно понятно, что большее стандартное отклонение в нашем ядре приведет к более размытому изображению, и это отражено в FT! FT нашего ядра теперь только белый рядом с началом координат. Подграфик 6 по-прежнему представляет собой точечное умножение 2 и 4. Свертка ядра Гаусса с нашим изображением удалила все частотное содержимое, кроме самых низких частот (ближайших к началу координат).
Собираем все вместе
Теперь давайте постепенно увеличивать стандартное отклонение и непрерывно наблюдать за эффектом в пространстве Фурье.
Почему это полезно?
Это, несомненно, хитрый прием для вечеринок, но что он означает на практике? Ну, во-первых, это означает, что мы можем реализовать свертки как ПФ и поточечное умножение. Свертки дорогие! В некоторых случаях быстрее использовать два FT. Это ускорение может иметь большое значение для больших образов и/или ядер.
Однако в более общем смысле это означает, что если мы можем решить проблему в одной области, у нас есть ответ в другой. Это очень ценно при решении дифференциальных и интегральных уравнений.
Спасибо за прочтение! Я надеюсь, что вы уйдете с более интуитивным пониманием теоремы свертки.
